IL Gioco

IL SOLITARIO DELLA BASTIGLIA o Peg Solitaire è un gioco da tavola che si gioca da soli, solitamente su di un tavolo da gioco apposito con dei fori disposti a forma di croce o ottagono. Inizialmente tutti i fori, eccetto quello centrale, sono occupati da pioli o biglie (qui di seguito chiamati genericamente pedine). Lo scopo del gioco è di eliminare dal tavolo da gioco tutte le pedine eccetto una, che dovrà occupare il foro in posizione centrale. L'unica mossa consentita è "saltare" una pedina (orizzontalmente o verticalmente, ma non in diagonale), che viene quindi "mangiata".

Spesso questo gioco viene chiamato erroneamente dama cinese, ma in realtà non ha nulla a che vedere con quest'ultimo né con la dama. È invece simile a Halatafl (noto anche come "la volpe e le oche" o "la volpe e le galline"), dato che il tavolo da gioco è sostanzialmente lo stesso, ma quest'ultimo si gioca in due e con pedine di due colori diversi.

Volendo, si potrebbe semplicemente disegnare la scacchiera su un foglio di carta, con caselle quadrate, usando come pedine piccole monete. Il gioco consiste nel togliere una qualunque delle pedine, in genere quella centrale e, seguendo le regole stabilite, restare alla fine con un'unica pedina sulla scacchiera. Tutte le altre pedine vengono "mangiate" con un salto che è simile a quello del gioco della dama, però i salti permessi sono soltanto orizzontali o verticali, mai diagonali. Ogni pedina saltata viene tolta dalla scacchiera e la soluzione più elegante prevede che rimanga un'unica pedina collocata esattamente nella casella che all'inizio del gioco era vuota.

Qualche tentativo è sufficiente per convincerci della difficoltà di questo gioco. Non è facile restare con una sola pedina, anche in una posizione diversa da quella della casella vuota iniziale.

La matematica ci può aiutare suggerendoci la strada per semplificare il problema: basta scomporlo in una serie di problemi più semplici. Questa è la tecnica più comune del "problem solving", applicata in questo caso al Solitario. E' un gioco studiato da molti matematici e in particolare da John Horton Conway in Winning Ways for your Mathematical Plays, un bel libro che purtroppo non è mai stato tradotto in italiano.
In figura sono riportate alcune delle più semplici configurazioni in cui possiamo scomporre il nostro gioco. Se impariamo a risolverle, e non è difficile, non avremo più problemi nella soluzione del Solitario. Sarà sufficiente procedere passo passo, risolvendolo per parti. Chiamiamo pacchetti i blocchetti di pedine sui quali vogliamo operare. Solo il primo blocchetto, quello di 3 pedine, è risolto nella figura della pagina seguente. La soluzione degli altri resta compito del lettore.
Le tre mosse che si devono fare per eliminare le tre pedine del blocchetto sono indicate con 1, 2 e 3. Le tre pedine sono allineate e hanno, a una delle due estremità, testa o coda, un buco e un'altra pedina che si possono considerare i catalizzatori del procedimento, entrano infatti nel procedimento di eliminazione, ma alla fine si ritrovano nella posizione di partenza. Le pedine rosse sono quelle da eliminare, mentre le due "x" (la posizione vuota e quella piena) indicano i catalizzatori che consentono l'eliminazione del pacchetto di pedine.
L'operazione che porta all'eliminazione di tutte le pedine del pacchetto si chiama repulisti. In questo caso quindi repulisti-3. Se si parte invece con un blocco di pedine e una posizione vuota, indicata dal cerchietto, e si arriva all'eliminazione del pacchetto, con una sola pedina nella posizione che era vuota, allora chiamiamo questa operazione pacchetto.
I pacchetti-base del Solitario
Processo di eliminazione delle tre pedine allineate con i catalizzatori
Nelle figure che seguono riportiamo alcuni esempi di impacchettamento del Solitario, per riuscire a risolverlo senza problemi. La scomposizione con le pedine "impacchettate" consiste in due repulisti - 3 (1,2), seguiti da tre repulisti - 6 (3,4,5) e da un repulisti - L (6). Alla fine non rimane che un salto per chiudere il gioco.
Per gli altri due esempi, sarà sufficiente eseguire le operazioni nell'ordine indicato dai numeri sui vari pacchetti.
La strategia dell'impacchettamento per la soluzione del Solitario
Quello che era, almeno all'apparenza, un problema complicato, grazie a questo procedimento diventa semplicissimo, a conferma del fatto che la matematica è lo strumento principe, insostituibile nella soluzione di qualsiasi problema.
A questo punto, per complicare il gioco si può seguire il consiglio di Leibniz che si impegnò nello studio del Solitario e osservò:
La scacchiera del Solitario all'inizio del gioco, nella versione di Leibniz.
"Mi piace molto il gioco chiamato Solitario e lo gioco al contrario. Invece di formare una figura seguendo le regole del gioco, che prescrive di saltare con un pezzo in un posto vuoto su un altro pezzo che viene tolto, ho pensato che è meglio ricostruire quanto è stato demolito, colmando il posto vuoto al di sopra del quale viene fatto il salto. In questo modo l'obiettivo risulta quello di formare una data figura, se questo è possibile, come in effetti dev'essere, se è stato possibile distruggerla. Ma perché tutto questo? potreste chiedere. Rispondo: per perfezionare l'arte dell'invenzione"
Giochiamo al Solitario, per raffinare la nostra capacità di ragionamento, usando immaginazione e intuizione: forse è questa, per Leibniz, "l'arte dell'invenzione". In pratica, si parte con la scacchiera vuota e una sola pedina al centro o in un'altra posizione qualsiasi e si cerca di ritornare alla scacchiera piena con un vuoto nella posizione piena di partenza, giocando "a rovescio", con la mossa indicata da Leibniz e riportata in figura: ad ogni salto si rimette sulla scacchiera una pedina nella posizione vuota sulla quale viene fatto il salto. La matematica ci viene in soccorso per la soluzione del gioco. Le regole sono fondamentalmente le stesse del Solitario classico, con un procedimento simile al precedente dove a "pieno" si sostituisce "vuoto" e viceversa a "vuoto", "pieno". Anche in questo caso, il lettore può provare a scomporre il gioco in blocchi più semplici.
Solitario classico:
pieno - pieno - vuotovuoto - vuoto - pieno
Solitario di Leibniz:
vuoto - vuoto - pienopieno - pieno - vuoto
Una curiosità: il numero minimo di mosse necessarie per restare con una sola pedina al centro, partendo dalla casella centrale vuota, è 18, se contiamo come unica mossa una successione ininterrotta di salti. E' stato Ernest Reigholt a scoprirla, nel 1912, come riferisce Martin Gardner sua in Enigmi e giochi matematici, Volume IV.

Riportiamo le prime mosse di questa soluzione, seguendo la numerazione delle caselle sulla scacchiera indicata in figura:
5-17, 12-10, 3-11, 18-6, 30-18, 27-25, 24-26,  ...
Dopo aver preso confidenza con il Solitario, si potranno cercare altre varianti. Ad esempio, partire sempre con la casella centrale vuota e chiudere il gioco con una data configurazione di pedine, come quelle riportate in figura.

Alcune possibili configurazioni di chiusura del Solitario
La scacchiera francese, con quattro caselle supplementari
La scacchiera che abbiamo usato finora è quella americana, la più nota. La scacchiera francese prevede invece quattro pedine in più, disposte come in figura. Con questo tipo di scacchiera non è possibile chiudere il solitario con una sola pedina al centro, partendo con il centro vuoto. Si potrà chiudere il gioco con una sola pedina, ma in altra posizione. E' anche possibile partire con la casella centrale vuota e chiudere con una pedina al centro e un contorno di pedine su tutta la scacchiera. Ecco le prime mosse della soluzione: 6-19, 4-6, 18-5, 6-4, 9-11, 24-10, ...

Esistono infine scacchiere di forme diverse, la più nota ed anche la più semplice è quella triangolare di cui riportiamo in figura la versione che si trova anche in commercio, con 15 caselle. Le regole sono analoghe a quelle del solitario classico, ma in questo caso i salti permessi sono quelli in diagonale e in orizzontale.


Fonte: http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio